درسنامه آموزشی فصل ششم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی

کدام یک از توابع زیر با ضابطه های داده شده در $x = 1$ ناپیوسته‌اند؟

$f(x) = {(x - 3)^2}$ (الف

$g(x) = \frac{{\left| {x - 1} \right|}}{{x - 1}}$ (ب

$h(x) = \left\{ \begin{gathered}
  x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 1 \hfill \\
  2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 1 \hfill \\
   - x + 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$ (پ

تابع با ضابطه $g(x) = \left\{ \begin{gathered}
  3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 2 \hfill \\
  x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$ و نمودار آن را در نظر بگیرید.

الف) کدام یک از حدهای $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x)$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x)$ موجودند؟

ب) آیا $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x)$ موجود است؟

پ) آیا تابع $f$ در $x = 2$ پیوسته است؟

برای تابع $g(x)$، $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = g(2)$، گوییم $g$ از طرف چپ در نقطه 2 پیوسته است.

پیوستگی روی بازه‌های $\left[ {a,b} \right)$ و $\left( {a,b} \right]$ را به‌طور مشابه تعریف کنید.
تابع $f$ روی بازه $\left[ {a,b} \right)$ پیوسته است هرگاه .......................................................................

در این حالت اگر $b =  + \infty $، یعنی تابع $f$ در $a$ پیوستگی راست دارد و در تمام نقاط بزرگ‌تر از $a$ پیوسته است.
تابع $f$ روی بازه $\left( {a,b} \right]$ پیوسته است هرگاه .......................................................................

در این حالت اگر $a =  - \infty $، یعنی تابع $f$ در $b$ پیوستگی چپ دارد و در تمام نقاط کوچک‌تر از $b$ پیوسته است.

سه تابع متفاوت مثال بزنید که:

الف) روی بازه $( - \infty ,\infty )$ پیوسته باشد.
ب) روی بازه $\left[ { - 2, + \infty } \right)$ پیوسته باشد.
پ) روی بازه $\left( { - \infty ,0} \right]$ پیوسته باشد.

مثال: الف) اگر $f$ یک تابع چندجمله‌ای باشد، آنگاه $f$ روی بازه $( - \infty ,\infty )$ پیوسته است؛ زیرا $(c \in \mathbb{R})\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to c} f(x) = f(c)$
ب) توابع $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \cos x$ روی بازه‌های $( - \infty ,\infty )$ پیوسته‌اند.
پ) تابع $f(x) = {\log _3}x$ روی بازه $(0,\infty )$ پیوسته است.
ت) اگر تابعی روی بازه‌ای پیوسته باشد، روی هر زیر بازه دلخواه از آن نیز پیوسته است.
ث) توابع $f(x) = \sin x$ و $g(x) = \cos x$ روی بازه‌های $\left[ {0,2\pi } \right]$ پیوسته‌اند.
ج) تابع $f(x) = {\log _3}x$ روی بازه $\left[ {1,2} \right]$ پیوسته است.

1) تابع $f$ با ضابطهٔ زیر را در نظر می‌گیریم: $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
  2x + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt  - 1 \hfill \\
  {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \leqslant x \lt 2 \hfill \\
   - x + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \lt x \lt 5 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

الف) نمودار $f$ را کامل کنید.
ب) دامنه و برد $f$ را به‌دست آورید.
پ) پیوستگی تابع را روی بازه‌های $\left[ { - 1,1} \right]$ و $(2,5)$ و $\left[ { - 2,0} \right]$ بررسی کنید.

2) دربارهٔ تابع $f$ کدام یک از گزاره‌های زیر درست و کدام یک نادرست است؟

الف) $f$ روی بازهٔ $\left( { - \infty , - 1} \right]$ پیوسته است.
ب) $f$ روی بازهٔ $( - \infty , - 1)$ پیوسته است.
پ) $f$ روی بازهٔ $\left[ {2,5} \right]$ پیوسته است.
ت) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f(x) = 0$
ث) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} f(x) = 0$
ج) $f$ روی بازهٔ $( - 2,0)$ پیوسته است.

3) با توجه به تابع $f$:

الف) دو بازهٔ بسته مثال بزنید که تابع در یکی از آنها پیوسته و در دیگری ناپیوسته باشد.

ب) $a$ و $b$ای را مثال بزنید که تابع روی $\left[ {a,b} \right)$ پیوسته باشد؛ اما روی $\left[ {a,b} \right]$ پیوسته نباشد.